本书遵循“以服务为宗旨，以应用为目的，以必须够用为度”的原则，在认真总结经验、分析调研的基础上，合理整合知识内容，以突出重点、注重实验、强调学法指导为特色，充分体现了模块式教学的应用性。本书将数学知识、数学思维、数学教育集于一书，具体包括函数与极限、导数与微分、不定积分、定积分、常微分方程、行列式与矩阵、线性方程组、无穷级数等内容，按层次配有习题，每章后配有数学实验、学法指导及复习题，方便学生学习、掌握数学知识与数学技能。

高等数学是普通高等院校各专业的一门必修的基础课程,本书基于编者多年来从事高等数学教学经验积累而编写。在编写过程中,遵循“强基础,重应用”的原则,在保证数学科学性的基础上,减少了复杂的理论求证,注重培养学生的基本运算能力和解决实际应用问题能力,力求在有限的教学时数内拓展学生的知识面。本书具有如下特色:(1)本书包含了普通高等院校各专业所需的主要高等数学内容,在编写过程中既强调数学的逻辑性和严谨性,又做到了通俗易懂,便于读者自学。教师在教学过程中可以根据各专业的特点选择所需内容。(2)在内容选取上,突出基本概念的理解和基本方法的掌握,注重培养学生的数学思想和数学思维方法。在编排上,以实例作为重要概念的切入点,重点分析如何从实例中抽象出数学概念,培养学生的抽象思维能力,遵循数学知识的认知规律,由浅入深,循序渐进。(3)在部分实例求解过程中加入分析,力求提高学生的观察、分析、思考能力,数学语言表达能力,运用数学基本概念、方法解决问题的能力,并提高他们学习数学的兴趣。在例题与习题的选取方面既考虑到了基本知识及基本能力的训练,同时也编排了一些思维能力的提高题。本书由吴健辉、李珍真任主编。由于编者水平所限,书中不足和疏漏之处在所难免,敬请广大读者批评指正。

第1章 函数、极限与连续…………………………………………………………1

 1.1 函数的概念………………………………………………………………1

1.1.1 几个基本概念……………………………………………………1

 1.1.2 函数的概念………………………………………………………2

 1.1.3 函数的表示法……………………………………………………3

1.1.4 函数的初等性质…………………………………………………5

1.1.5 初等函数…………………………………………………………7

习题1.1………………………………………………………………………10

1.2 数列的极限………………………………………………………………11

1.2.1 极限概念的引入…………………………………………………12

1.2.2 数列极限…………………………………………………………12

 1.2.3 数列极限的性质…………………………………………………16

习题1.2………………………………………………………………………20

 1.3 函数极限…………………………………………………………………21

 1.3.1 自变量趋于无穷时的极限……………………………………21

 1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限………………………………23

 1.3.3 函数极限的性质…………………………………………………26

习题1.3………………………………………………………………………29

1.4 无穷小量与无穷大量……………………………………………………31

 1.4.1 无穷小量…………………………………………………………31

 1.4.2 无穷大量…………………………………………………………33

习题1.4………………………………………………………………………34

1.5 两个重要极限……………………………………………………………35

 1.5.1 夹逼定理…………………………………………………………35

1.5.2 两个重要极限…………………………………………………36

习题1.5………………………………………………………………………40

 1.6 函数的连续性……………………………………………………………41

 1.6.1 连续函数的概念…………………………………………………41

1.6.2 连续函数的运算性质……………………………………………43

 1.6.3 初等函数的连续性………………………………………………45

 1.6.4 间断点……………………………………………………………45

1.6.5 闭区间上连续函数的性质………………………………………48

习题1.6………………………………………………………………………50

 1.7 无穷小量的比较…………………………………………………………52

 习题1.7………………………………………………………………………55

第2章 导数和微分………………………………………………………………56

2.1 导数的概念………………………………………………………………56

2.1.1 概念的引入………………………………………………………56

 2.1.2 导数的定义………………………………………………………57

 2.1.3 导数的几何意义…………………………………………………61

2.1.4 可导与连续的关系………………………………………………62

习题2.1………………………………………………………………………62

2.2 函数的求导法则…………………………………………………………64

2.2.1 函数的四则运算求导法则………………………………………64

2.2.2 反函数的求导法则………………………………………………66

 2.2.3 复合函数的求导法则……………………………………………67

习题2.2………………………………………………………………………70

2.3 特殊类型函数的求导法…………………………………………………71

2.3.1 隐函数的求导法…………………………………………………71

2.3.2 幂指函数求导法…………………………………………………73

2.3.3 多个因子积商的求导……………………………………………74

2.3.4 由参数方程所确定函数的求导法………………………………75

习题2.3………………………………………………………………………76

2.4 高阶导数…………………………………………………………………77

 习题2.4………………………………………………………………………80

2.5 微分………………………………………………………………………81

2.5.1 微分的概念………………………………………………………81

 2.5.2 微分的几何意义…………………………………………………83

 2.5.3 微分的运算法则与公式…………………………………………83

 2.5.4 微分的应用………………………………………………………85

习题2.5………………………………………………………………………87

第3章 导数的应用………………………………………………………………89

 3.1 微分中值定理……………………………………………………………89

 3.1.1 罗尔(Rolle)定理………………………………………………89

3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理…………………………………91

3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理…………………………………………93

 习题3.1………………………………………………………………………94

3.2 洛必达法则………………………………………………………………95

3.2.1 洛必达法则………………………………………………………95

3.2.2 其他未定型………………………………………………………98

习题3.2………………………………………………………………………100

 3.3 泰勒公式………………………………………………………………101

 习题3.3………………………………………………………………………105

3.4 函数的单调性与函数的极值…………………………………………105

3.4.1 函数单调性的判定……………………………………………105

3.4.2 函数的极值……………………………………………………107

 3.4.3 函数的最值……………………………………………………111

习题3.4………………………………………………………………………112

 3.5 曲线的凹凸性及拐点…………………………………………………114

 习题3.5………………………………………………………………………116

3.6 函数的作图……………………………………………………………117

 3.6.1 曲线的渐近线…………………………………………………117

3.6.2 函数的作图……………………………………………………118

 习题3.6………………………………………………………………………120

 3.7 导数在经济学及物理学上的应用……………………………………120

 3.7.1 导数在经济学上的应用………………………………………121

3.7.2 导数在物理学中的应用………………………………………127

习题3.7………………………………………………………………………129

第4章 不定积分…………………………………………………………………130

4.1 不定积分的概念………………………………………………………130

4.1.1 原函数的概念…………………………………………………130

4.1.2 不定积分的定义………………………………………………131

 4.1.3 不定积分的几何意义…………………………………………132

4.1.4 不定积分的基本公式…………………………………………133

4.1.5 不定积分的性质………………………………………………134

4.1.6 直接积分计算举例……………………………………………135

习题4.1………………………………………………………………………136

 4.2 不定积分的换元积分法………………………………………………137

 4.2.1 第一换元积分法………………………………………………138

4.2.2 第二换元积分法………………………………………………143

习题4.2………………………………………………………………………147

4.3 分部积分法……………………………………………………………149

习题4.3………………………………………………………………………154

4.4 几类特殊函数的不定积分……………………………………………154

4.4.1 有理函数的不定积分…………………………………………154

4.4.2 三角函数有理式的不定积分…………………………………159

 4.4.3 简单无理函数的积分…………………………………………160

习题4.4………………………………………………………………………161

第5章 定积分……………………………………………………………………163

 5.1 定积分的概念…………………………………………………………163

5.1.1 定积分概念引入的背景………………………………………163

5.1.2 定积分的概念…………………………………………………165

 习题5.1………………………………………………………………………167

 5.2 定积分的性质…………………………………………………………168

习题5.2………………………………………………………………………171

5.3 微积分学基本定理……………………………………………………171

5.3.1 引例……………………………………………………………171

5.3.2 变上限函数……………………………………………………172

5.3.3 牛顿-莱布尼茨公式……………………………………………174

习题5.3………………………………………………………………………175

5.4 定积分的基本积分法…………………………………………………176

 5.4.1 定积分的换元积分法…………………………………………176

 5.4.2 定积分的分部积分法…………………………………………178

习题5.4………………………………………………………………………180

5.5 广义积分………………………………………………………………181

5.5.1 无穷区间上的广义积分………………………………………182

 5.5.2 无界函数的广义积分…………………………………………184

习题5.5………………………………………………………………………186

第6章 定积分的应用……………………………………………………………187

6.1 定积分的微元法………………………………………………………187

6.2 平面图形的面积………………………………………………………188

6.2.1 直角坐标系下求平面图形的面积……………………………189

 6.2.2 极坐标系下求平面图形的面积………………………………191

习题6.2………………………………………………………………………192

6.3 空间几何体体积………………………………………………………192

6.3.1 已知截面面积求体积…………………………………………192

 6.3.2 旋转体体积……………………………………………………193

 习题6.3………………………………………………………………………195

6.4 平面曲线的弧长………………………………………………………195

 6.4.1 直角坐标系下求弧长…………………………………………195

6.4.2 参数方程形式下求曲线弧长…………………………………196

 6.4.3 极坐标系下求曲线弧长………………………………………197

习题6.4………………………………………………………………………198

 6.5 定积分的物理应用……………………………………………………198

6.5.1 功………………………………………………………………198

6.5.2 水压力…………………………………………………………200

 6.5.3 引力……………………………………………………………200

习题6.5………………………………………………………………………201

附录A 不定积分表………………………………………………………………202

       吴健辉，教授，毕业于江西大学数学系数学专业，从事数学及统计专业教学30年。发表核心、国家级及省级论文共计十余篇，主持完成省级课题4项。

       李珍真，硕士，讲师,现任景德镇学院信息工程学院数学与统计系副主任，2016年获江西省高校青年教师教学竞赛理科组三等奖；2013、2018、2019年均获得“景德镇学院青年教师教学竞赛一等奖”，2018年荣获“景德镇学院首届教学名师”荣誉称号；2019年获景德镇学院线上优质课程二等奖；2020年主持建设《高等数学》校级精品课程项目；2021年获景德镇学院“教书育人”先进个人。近三年来，主持校级课题2项，参与完成省级课题2项，发表论文十余篇；2016年指导学生参加“全国大学生数学建模竞赛”获省级三等奖；2020年带领学生参加“全国大学生数学建模竞赛”获省级二等奖。

本书适合作为普通高等院校各专业高等数学、应用数学课程的教材。