本书对数学分析的实数与实函数、数列的极限、一元函数的极限、一元函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及导数的应用、不定积分、定积分、广义积分、含参变量的积分、数项级数、函数列与函数项级数、幂级数和傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数微分学、重积分及曲线积分与曲面积分等重要知识点进行了系统的讲解和辨析, 对近年来一些重点高校的典型考研试题进行了独到的分析和讨论, 将数学分析的内容按知识点进行整合, 使得整个知识结构清晰明了。全书叙述简明扼要, 重点突出, 方法典型。

      根据目前我国高等教育的形势，越来越多的本科毕业生选择了考研。
      “数学分析”是数学专业考研的必考科目，同时它也包含了理工科研究生招生考试中“高等数学”的主要内容。在“考研热”“考研难”的浪潮下，高校师生越来越迫切希望有一部专门用于考研辅导的优秀教材面世。
      编者根据数十年考研辅导课的教学经验与体会编写了本书。自2020年1月出版以来，受到了广大读者的欢迎，并于2020年12月获批河南省“十四五”普通高等教育规划教材立项。为了保证图书质量，编者组经过多次研讨，结合使用过程中发现的一些可以继续完善的地方，最终确定再版的修订方案。本次修订的主要工作有:
(1)更正了书中的计算和证明中出现的错误；
(2)第3讲中，删去了例3.6原来的证明方法，给出了新的证明；
(3) 第8讲中，删去了勒让德多项式的相关内容；
(4) 第17讲中，删去了例17.17原来的求解方法，给出了更为简便的求解方法；
(5) 对部分例题进行了适当增减，并补充了一些习题及习题参考答案。
       本书共17讲，每讲都附有适当的练习题，大约需用72学时。全书主要特点包括：
(1)知识结构的整体性。本书有别于数学分析教材，对知识点按块分类，进行归纳、比较，便于学生发现规律，总结经验。
(2)知识结构的联系性。数学分析的考研题不仅涉及本课程的知识点，还常常涉及其他相关科目的知识，如实变函数、泛函分析、复变函数、微分方程等，因此，本书根据需要对数学分析的相关知识点进行了适当的拓展。
(3)强调对基本概念的理解和辨析。
(4)专题性。本书对许多重要的知识点进行了专题性的讨论。
(5)注重解题方法的分析与创新。
(6)力求简明扼要。本书略去了数学分析教材中详细讲解的一般知识点，去粗取精，侧重基本概念的分析和解题方法的讨论，努力启发读者思维。本书不仅能加深学生对数学概念的理解及其对数学知识框架的整体认识，而且能大大提高学生分析问题、解决问题的能力，适合作为普通高等学校数学类各专业的考研辅导教材，也可作为理工科学生学习“数学分析”“高等数学”课程的辅助教材。
      参加本书编写的教师都长期工作在教学第一线，具有丰富的经验。本书由郝涌任参加本书编写的教师都长期工作在教学第一线，具有丰富的经验。本书由郝涌任主编，由王玉磊、李金伟、李倩、别潇、杜金姬、苑倩倩任副主编。具体分工如下：第1~3讲由李倩编写，第4~6讲由别潇编写，第7~9讲由苑倩倩编写，第10~12讲由李金伟编写，第13~15讲由杜金姬编写，第16、17讲由王玉磊编写。全书由郝涌统稿定稿。
      衷心感谢中国铁道出版社在教材出版过程中给予的支持和帮助，同时还要感谢广大读者在阅读和使用本教材的过程中提出的宝贵意见！
                                                              编者
                                                           2022年4月

第 1 讲 实数与实函数

1. 1 实数及实函数的基本概念

1. 1. 1 实数

1. 1. 2 实数的性质

1. 1. 3 关于实数点集的一些重要概念

1. 1. 4 实函数

1. 2 实数及实函数的典型问题及讨论

习题


第 2 讲 数列的极限

2. 1 数列极限的基本概念

 2. 1. 1 数列收敛与发散的定义

 2. 1. 2 数列收敛的条件

 2. 2 求数列极限的方法

 2. 2. 1 利用单调有界原理

 2. 2. 2 利用迫敛法则

 2. 2. 3 利用柯西准则

 2. 2. 4 利用施笃兹定理

 2. 2. 5 利用特殊极限

 2. 2. 6 利用定积分

 2. 2. 7 利用级数

 2. 2. 8 转换为函数的极限

 2. 2. 9 各种方法的综合应用

习题


第 3 讲 一元函数的极限

 3. 1 一元函数极限的基本概念

 3. 1. 1 一元函数极限的类型和极限定义

 3. 1. 2 一元函数极限存在的条件

 3. 1. 3 一元函数极限的性质

3. 1. 4 无穷小量与无穷大量

 3. 2 关于函数极限的典型例题及方法

 3. 2. 1 利用定义

 3. 2. 2 利用双侧极限

 3. 2. 3 利用特殊极限

 3. 2. 4 利用无穷小量

 3. 2. 5 利用泰勒展式

 3. 2. 6 利用洛必达法则

 3. 2. 7 综合方法的应用

习题


第 4 讲 一元函数的连续性

 4. 1 一元函数的连续与间断

 4. 1. 1 函数在一点的连续性

 4. 1. 2 函数在区间上的连续性

 4. 2 关于函数连续性的问题讨论

 4. 2. 1 利用定义讨论连续性

 4. 2. 2 关于连续函数的性质的讨论

 4. 2. 3 关于一致连续性的讨论

习题


第 5 讲 导数与微分

 5. 1 导数与微分的基本概念

 5. 1. 1 可导与导数

 5. 1. 2 可微与微分

 5. 2 关于导数与微分的一些问题讨论

 5. 2. 1 用导数的定义证明问题

 5. 2. 2 导函数的特性

 5. 2. 3 导数与微分的计算

习题


第 6 讲 微分中值定理及导数的应用

 6. 1 微分中值定理及导数应用的基本概念

 6. 1. 1 微分中值定理

 6. 1. 2 导数的应用

 6. 2 微分中值定理及导数应用中的典型问题

6. 2. 1 有关中值定理问题的证明技巧

 6. 2. 2 凸函数及其特性

习题


第 7 讲 不定积分

 7. 1 不定积分的概念

 7. 1. 1 原函数

 7. 1. 2 不定积分

 7. 2 不定积分的几个问题讨论

 7. 2. 1 原函数的存在问题

 7. 2. 2 求解不定积分的技巧

习题


第 8 讲 定积分

 8. 1 定积分的概念

 8. 1. 1 定积分定义

 8. 1. 2 可积条件

 8. 1. 3 可积函数类

 8. 1. 4 定积分性质

 8. 1. 5 定积分的计算

 8. 2 定积分中的问题讨论

 8. 2. 1 用定积分的定义证明问题

 8. 2. 2 柯西 - 施瓦茨不等式系列

 8. 2. 3 函数的零点个数问题

8. 2. 4 杂例

习题


第 9 讲 广义积分

 9. 1 广义积分的基本概念

 9. 1. 1 无穷区间的广义积分

 9. 1. 2 无界函数的广义积分

 9. 2 广义积分中的问题讨论

 9. 2. 1 广义积分敛散的判别

 9. 2. 2 被积函数趋于零的问题

 9. 2. 3 广义积分的计算

习题


第 10 讲 含参量的积分

 10. 1 含参量积分的基本概念

 10. 1. 1 含参量的正常积分

 10. 1. 2 含参量的广义积分

 10. 2 含参量广义积分重点问题讨论

 10. 2. 1 关于一致收敛问题

 10. 2. 2 含参量广义积分的性质

 10. 2. 3 利用含参量积分的性质计算广义积分

习题


第 11 讲 数项级数

 11. 1 数项级数的基本概念

 11. 1. 1 数项级数的一般性概念

 11. 1. 2 正项级数

 11. 1. 3 一般项级数的敛散性

 11. 2 数项级数的一些重要问题讨论

 11. 2. 1 关于敛散的概念问题

 11. 2. 2 关于级数敛散的判别问题

习题


第 12 讲 函数列与函数项级数

 12. 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛

 12. 1. 1 函数列

 12. 1. 2 函数项级数

 12. 2 函数列与函数项级数的主要问题讨论

 12. 2. 1 关于一致收敛的判定

 12. 2. 2 关于极限函数或和函数的性质

习题


第 13 讲 幂级数和傅里叶级数

 13. 1 幂级数和傅里叶级数的一般概念

 13. 1. 1 幂级数

 13. 1. 2 傅里叶级数

 13. 2 幂级数与傅里叶级数主要问题讨论

 13. 2. 1 一致收敛及其他性质的证明问题

 13. 2. 2 求收敛域、和函数及展成幂级数或傅里叶级数问题

习题


第 14 讲 多元函数的极限与连续

 14. 1 多元函数极限与连续的基本概念

 14. 1. 1 关于平面点集

 14. 1. 2 二元函数及极限

 14. 1. 3 二元函数的连续性

 14. 2 多元函数极限与连续一些主要问题讨论

 14. 2. 1 对一类在原点处为“ 00 ”型的函数其极限存在与否的判定

 14. 2. 2 关于连续性问题的讨论

 14. 2. 3 二元函数连续与关于各变元分别连续问题

 14. 2. 4 杂例

习题

 

第 15 讲 多元函数微分学

 15. 1 多元函数微分的基本概念

 15. 1. 1 偏导与全微分

 15. 1. 2 偏导和全微分的计算

 15. 1. 3 隐函数和隐函数组

 15. 1. 4 偏导与全微分的应用

 15. 2 多元函数微分学中重点问题讨论

 15. 2. 1 可微、偏导、连续及偏导函数连续之间关系

 15. 2. 2 关于求偏导及微分

 15. 2. 3 变量代换化简偏微分方程

 15. 2. 4 混合偏导与求导顺序无关问题

 15. 2. 5 应用问题

习题


第 16 讲 重积分

 16. 1 重积分的基本概念

 16. 1. 1 二重积分

 16. 1. 2 三重积分

 16. 1. 3 重积分的应用

 16. 2 重积分的一些问题讨论

 16. 2. 1 关于重积分计算的典型例题

16. 2. 2 重积分的证明问题

习题

第 17 讲 曲线积分与曲面积分

 17. 1 曲线积分与曲面积分的概念

 17. 1. 1 第一型曲线积分

 17. 1. 2 第二型曲线积分

 17. 1. 3 第一型曲面积分

 17. 1. 4 第二型曲面积分

 17. 1. 5 场论初步

 17. 2 曲线积分与曲面积分的典型问题

习题

习题参考答案

参考文献

       郝涌，男，教授，现任信阳学院数学与信息学院特聘教授。主持和参加省级以上教、科研项目7项，发表学术论文20余篇，出版专著、教材4部，是省级精品课程《数学分析》项目主持人（2005年），曾获曾宪梓教育基金会奖、河南省教育厅“百名师德先进个人”奖。著作和论文获省级二等奖以上多项，多次获“信阳师范学院”教学优秀奖、一等奖和“优秀教师”称号。

       本书对数学分析的相关知识点去粗取精，进行系统系统的讲解和辨析；注重理论、方法和实例的有机结合，既重视一题多解，又强调一法多用；对经典考研试题进行了独到的分析和讨论，启发读者思维。