本系列教材根据复变函数论课程教学的基本要求，按照教育部“面向21世纪教学内容和课程体系改革”精神，结合作者长期的教学改革实践编写而成.本系列教材以“数学思想方法是数学教学的灵魂”为指导思想，尽力突出复变函数论的基本思想、基本理论与基本方法，在数学知识、数学能力、数学素质三维空间构建其数学内容体系.同时，也注意渗透相关学科的思想与方法，以利于教与学、理论与应用、课内与课外的结合，以利于提高学生数学素质与创新能力.全书共分八章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复积分、复级数、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射、解析延拓.本书适合作为高等学校数学、工程类专业以及师范院校数学专业教材，也可供相关专业专科教材.本书的出版受到福建省自然科学基金项目（2006 J0398）资助。

        复数理论的产生和发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数最早是16世纪中叶人们在解代数方程时引入的．1545年，意大利数学物理学家卡丹在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10-x)=40的根，它求出形式的根为5+-15和5--15，积为25-（-15）=40．但由于这只是单纯从形式上推广而引进的，并且人们原先已断言负数开平方是没有意义的，因而复数在历史上长期难以为人们所接受,“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到18世纪，达朗贝尔、欧拉等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的．柯西在发展复变函数理论的过程中开创性地建立了柯西积分定理,引入留数概念，建立了留数定理，并应用留数计算某些特殊的实积分；魏尔斯特拉斯从幂级数的新途径上建立起解析函数理论以及解析延拓的方法；黎曼则从研究多值解析函数入手，建立了黎曼曲面理论，为深刻揭示多值函数产生多值的原因、单值化的方法提供了崭新的数学模型，同时从黎曼曲面上的共形映射的研究上为一般的共形映射问题的研究开辟了新的篇章.20世纪以来，随着时代的进步和科学技术的日新月异，复变函数理论在各个领域都有着更加深入和全面的发展.奈望林纳引入亚纯函数的特征函数，为值分布理论的研究带来了飞跃；蒙泰尔给出了函数族正规性的概念以及一些基本正规族判别定则；法都和朱利亚通过函数迭代下的正规性创立了复动力系统理论.特别是20世纪70年代，我国数学工作者杨乐、张广厚教授在单复变函数的值分布和渐近值理论的研究中，取得了一系列首创性的举世瞩目的重要成果. 此外，多复变函数理论、拟共形映照理论、泰西穆勒理论、位势理论等都有了迅速的发展. 同时在自然科学的其他学科（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）以及数学学科的相关分支（如微分方程、概率论、数论等）中复数理论也都有十分广泛的应用. 复变函数论是数学专业以及相关专业的必修基础课，也是数学学科的一个重要研究领域.本书在内容的组织上力求做到既保持知识理论体系的科学性、系统性和严谨性，又尽可能地由浅入深 、通俗易懂，突出课程重点和学科框架.　　本书以解析函数为主线展开，着重介绍柯西积分定理、柯西积分公式、洛朗级数、解析函数孤立奇点的分类、留数定理及其应用、辐角原理、共形映射理论与应用.同时对解析延拓及黎曼曲面也给予简明扼要的阐述.对多值解析函数这个教学与学习上的难点问题，将其分别分散在第2章、第6章与第7章，并对多值产生的原因、单叶性区域的划分及分解单值解析分支的方法等均给予较为详尽的说明，以降低教与学的难度.其次，为了兼顾一部分师范院校学生今后工作上的需要，特安排一些复数在中学数学中的应用的内容作为附录以供参考.　　本书在编写过程中，得到宁德师范高等专科学校数学系同仁周先耕、赵小珍、张敏、刘芳等同志的大力支持，在此致以诚挚的谢意！此外，衷心感谢中国铁道出版社的支持和帮助.　　鉴于作者水平有限，在内容组织和处理上恐难免有不尽人意之处，敬请专家、读者不吝赐教。



        邱凎俤

        2008年9月

第1章复数与复变函数

§1?1复数

1?1?1复数域

1?1?2复平面

1?1?3复数的模与辐角

1?1?4曲线的复数方程

§1?2复平面上的点集

1?2?1几个基本概念

1?2?2区域与约当(Jordan)曲线

§1?3复变函数

1?3?1复变函数的概念

1?3?2复变函数的极限和连续性

习题

第2章解析函数

§2?1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

2?1?1复变函数的导数与微分

2?1?2解析函数及其简单性质

2?1?3柯西（Cauchy）黎曼（Riemann）条件条件）

§2?2初等解析函数

2?2?1指数函数

2?2?2三角函数

§2?3初等多值解析函数

2?3?1根式函数

2?3?2对数函数

2?3?3一般幂函数与一般指数函数

习题

第3章复积分

§3?1复积分的概念及其简单性质

3?1?1复积分的定义

3?1?2复积分的计算

3?1?3复积分的基本性质

§3?2柯西积分定理

3?2?1柯西积分定理

3?2?2不定积分

3?2?3柯西积分定理的推广

§3?3柯西积分公式及其推论

3?3?1柯西积分公式

3?3?2解析函数的无穷可微性

3?3?3柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理

3?3?4摩勒拉（Morera）定理

§3?4解析函数与调和函数的关系

复变函数教程目录习题

第4章复级数

§4?1级数的基本性质

4?1?1复数项级数

4?1?2复函数项级数

§4?2幂级数

§4?3解析函数的泰勒展式

4?3?1泰勒展式

4?3?2求泰勒展式的方法

§4?4解析函数的零点及唯一性

习题

第5章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

§5?1解析函数的洛朗展式

§5?2解析函数的孤立奇点

5?2?1可去奇点

5?2?2极点

5?2?3本质奇点

§5?3解析函数在无穷远点的性质

§5?4整函数与亚纯函数简介

习题

第6章留数理论及其应用

§6?1留数

§6?2留数的应用

§6?3辐角原理及其应用

6?3?1对数留数

6?3?2辐角原理

6?3?3儒歇(Rouche)定理

习题

第7章共形映射

§7?1单叶解析函数的映射性质

7?1?1解析变换的保域性

7?1?2解析变换的保角性——导数的几何意义

7?1?3单叶解析变换的保形性

§7?2线性变换

7?2?1线性变换的分解

7?2?2线性变换的性质

§7?3某些解析函数构成的共形映射

7?3?1幂函数与根式函数

7?3?2指数函数与对数函数

7?3?3由圆弧构成的两角形区域的共形映射

7?3?4儒可夫斯基(ykobckhh)函数

§7?4关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理

7?4?1黎曼存在定理

7?4?2边界对应定理

习题

第8章解析延拓

§8?1解析延拓的概念与幂级数延拓

8?1?1解析延拓的概念

8?1?2解析延拓的幂级数方法

§8?2透弧解析延拓、对称原理

8?2?1透弧直接解析延拓

8?2?2黎曼施瓦茨对称原理

§8?3完全解析函数及黎曼面的概念

8?3?1完全解析函数

8?3?2单值性定理

8?3?3黎曼面概念

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