本书共分七章，主要阐述了误差及算法的稳定性，要求掌握数值运算的误差估计及数值运算中的一些原则； 非线性方程（组）求根，要求掌握迭代法的基本思想，熟练运用所学的方法解决非线性方程的近似解问题；线性方程组的数值解法，要求掌握高斯消去法和列主元高斯消去法，掌握矩阵三角分解法求解线性方程组，掌握向量和矩阵范数特征值的数值解法；函数的插值与拟合，要求掌握拉格朗日插值多项式的存在唯一性，掌握差分、差商的计算过程及有关性质，掌握牛顿插值多项式及其余项，了解埃尔米特插值及其余项；数值微分与积分和常微分方程数值解，要求掌握插值型数值求积公式，高斯求积公式等各类求积公式的构造方法，熟练运用求积公式进行计算。

“数值分析”或“计算方法”是数学与应用数学专业的基础课程，也是理工科大学各专业开设的一门数学公共基础课程，其内容主要包括数值计算的理论与方法 . 数值计算是计算数学、计算机科学与其它工程学科相结合的产物，随着现代科学技术的发展和计算机的广泛使用，科学计算变得越来越重要，尤其是人工智能和机器学习正在蓬 勃发展与应用，作为它们基础的数值计算方法也受到更广泛的重视。本书的主要内容 有 数值计算的基本问题、非线性方程（组）的数值解法、线性方程组的数值解法和矩阵特征值计算、函数的数值逼近法、数值微分与数值积分、常微分方程数值解等 . 本书还有如下特色：
（1）每章附有精心挑选的习题和上机实验题 . 习题和上机实验题不仅涉及基础知识的巩固，还有新工科背景的数值计算的应用和拓展，以利于激发理工科本科生和研究生学习数值计算的兴趣和拓展应用的认识。
（2）本书强调算法的理论分析 同时也注重算法的实现，通过实例和 MATLAB 部分源程序、 命令等更详细的体现了算法的应用。
（3 ）本书内容编排有利于教学，由浅入深、由易到难 附 有 一些 经典 和 当今较 流行 的算法介绍，还附有结合正文内容的素养提升内容，涉及算法背后的历史、应用 案例、人文素养等，以便于课堂内容的丰富或学生课外学习。
本书由王亚红、王秋宝、田茹主编，王亚红、王秋宝负责总体方案的设计及具体内容的安排及统稿，编写分工如下：王亚红（第 1 6 章）、王秋宝（第 7 章）、田茹负责全书例题、习题与上机实验题目。

本书是作者多年教研经验的积累，参考、借鉴了国内外优秀教材，力争在理论与实践相结合、课程与育人相结 合，反映学科发展前沿，以适应新时代发展对学生培养的新要求。
本书的出版得到以下项目的资助：研究生数学课程思政教学研究中心 项目编号： YSFZX2022014;研究生《数值分析》课程思政示范课程建设项目 项目编号： YKCSZ2021070;研究生《常微分方程数值方法》示范课程建设项目 项目编号： KCJX2022073
感谢石家庄铁道大学数理系和研究生院的大力支持。
感谢石家庄铁道大学马克思主义学院吕丽卿老师对素养提升的内容提出了宝贵意见， 感谢中国铁道出版社同志们对本书作者的帮助。
限于水平，恳请读者批评指正。

第1章 绪论……………………………………………………………………………………… 1
1.1 数值分析的研究对象与特点 ………………………………………………………… 1
1.2 数值计算的误差 ……………………………………………………………………… 2
1.2.1 误差的来源 ……………………………………………………………………… 2
1.2.2 误差与误差限 …………………………………………………………………… 3
1.2.3 浮点数与有效数字 ……………………………………………………………… 4
1.2.4 误差的传播 ……………………………………………………………………… 7
1.3 算法的稳定性 ………………………………………………………………………… 9
1.4 算法设计的注意事项………………………………………………………………… 11
1.5 数值计算软件………………………………………………………………………… 12
1.6 写给读者的话………………………………………………………………………… 13
习题 ………………………………………………………………………………………… 13
上机实验 …………………………………………………………………………………… 14
第2章 非线性方程(组)的数值解法 ………………………………………………………… 15
2.1 引言…………………………………………………………………………………… 15
2.2 二分法………………………………………………………………………………… 16
2.3 不动点迭代法………………………………………………………………………… 18
2.3.1 不动点与不动点迭代法………………………………………………………… 18
2.3.2 不动点迭代法的收敛性分析与误差分析……………………………………… 20
2.3.3 迭代法的收敛阶和埃特金加速………………………………………………… 23
2.4 牛顿迭代法及其变形………………………………………………………………… 26
2.4.1 牛顿迭代法……………………………………………………………………… 26
2.4.2 简化牛顿法……………………………………………………………………… 28
2.4.3 重根情形………………………………………………………………………… 29
2.4.4 割线法…………………………………………………………………………… 31
2.5 非线性方程组的牛顿迭代法简介…………………………………………………… 32
习题 ………………………………………………………………………………………… 34
上机实验 …………………………………………………………………………………… 35
第3章 线性方程组的数值解法 ……………………………………………………………… 38
3.1 引言与预备知识……………………………………………………………………… 38
3.1.1 引言……………………………………………………………………………… 38
3.1.2 向量与矩阵的预备知识………………………………………………………… 39
3.2 高斯消元法与矩阵分解……………………………………………………………… 43
3.2.1 高斯消元法………………………………………………………………………43

3.2.2 列主元高斯消元法……………………………………………………………… 46
3.2.3 高斯消元法的矩阵形式………………………………………………………… 48
3.3 矩阵的三角分解法…………………………………………………………………… 49
3.3.1 直接三角分解法………………………………………………………………… 49
3.3.2 解三对角线性方程组的追赶法………………………………………………… 53
3.3.3 乔列斯基分解与平方根法……………………………………………………… 55
3.4 线性方程组的误差分析……………………………………………………………… 58
3.5 线性方程组的迭代法及其收敛性分析……………………………………………… 63
3.6 雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法 ……………………………………………… 66
3.7 逐次超松弛迭代……………………………………………………………………… 71
3.8 块迭代法……………………………………………………………………………… 74
3.9 共轭梯度法…………………………………………………………………………… 76
习题 ………………………………………………………………………………………… 80
上机实验 …………………………………………………………………………………… 83
附注 ……………………………………………………………………………………… 86
第4章 矩阵特征值的计算 …………………………………………………………………… 90
4.1 引言…………………………………………………………………………………… 90
4.2 幂法与反幂法………………………………………………………………………… 91
4.2.1 幂法……………………………………………………………………………… 91
4.2.2 反幂法…………………………………………………………………………… 93
4.3 正交变换与QR分解………………………………………………………………… 94
4.3.1 豪斯霍尔德变换和吉文斯变换………………………………………………… 94
4.3.2 QR分解 ………………………………………………………………………… 98
4.4 QR方法 …………………………………………………………………………… 100
习题………………………………………………………………………………………… 101
上机实验…………………………………………………………………………………… 101
第5章 函数的数值逼近……………………………………………………………………… 102
5.1 引言 ………………………………………………………………………………… 102
5.2 拉格朗日插值多项式 ……………………………………………………………… 105
5.2.1 多项式插值问题 ……………………………………………………………… 105
5.2.2 拉格朗日插值多项式的构造方法 …………………………………………… 106
5.2.3 拉格朗日插值多项式的余项分析 …………………………………………… 108
5.3 牛顿插值多项式 …………………………………………………………………… 112
5.3.1 差商 …………………………………………………………………………… 112
5.3.2 牛顿插值多项式 ……………………………………………………………… 113
5.4 埃尔米特插值 ……………………………………………………………………… 115
5.4.1 两节点的三次埃尔米特插值 ………………………………………………… 115
5.4.2 重节点差商 …………………………………………………………………… 116
5.5 分段低次插值 ……………………………………………………………………… 117

5.6 三次样条插值 ……………………………………………………………………… 120
5.6.1 三次样条插值的定义 ………………………………………………………… 120
5.6.2 三次样条插值的基本方程 …………………………………………………… 121
5.6.3 端点条件 ……………………………………………………………………… 123
5.6.4 方程组的求解 ………………………………………………………………… 123
5.7 最小二乘法 ………………………………………………………………………… 125
5.7.1 单变量多项式拟合 …………………………………………………………… 125
5.7.2 多变量数据拟合 ……………………………………………………………… 131
5.7.3 非多项式形式的拟合 ………………………………………………………… 134
5.7.4 矛盾方程的最小二乘法解 …………………………………………………… 135
习题………………………………………………………………………………………… 136
上机实验…………………………………………………………………………………… 138
第6章 数值微分与数值积分………………………………………………………………… 140
6.1 引言 ………………………………………………………………………………… 140
6.2 数值微分 …………………………………………………………………………… 141
6.2.1 三点数值微分公式 …………………………………………………………… 142
6.2.2 理查森外推 …………………………………………………………………… 143
6.3 数值积分的基本概念 ……………………………………………………………… 147
6.4 牛顿 柯特斯求积公式及余项……………………………………………………… 149
6.5 复化梯形公式和复化辛普森求积公式 …………………………………………… 151
6.6 变步长求积 ………………………………………………………………………… 153
6.6.1 梯形公式的变步长法 ………………………………………………………… 153
6.6.2 龙贝格算法 …………………………………………………………………… 154
6.6.3 自适应求积方法 ……………………………………………………………… 156
6.7 高斯型求积公式 …………………………………………………………………… 159
6.7.1 两点高斯型求积公式的构造 ………………………………………………… 159
6.7.2 常见的高斯型求积公式 ……………………………………………………… 161
6.8 蒙特 卡罗方法……………………………………………………………………… 162
习题………………………………………………………………………………………… 163
上机实验…………………………………………………………………………………… 165
第7章 常微分方程数值解…………………………………………………………………… 166
7.1 引言 ………………………………………………………………………………… 166
7.2 基本概念和简单单步法 …………………………………………………………… 169
7.2.1 欧拉法 ………………………………………………………………………… 169
7.2.2 刚性问题简介 ………………………………………………………………… 175
7.2.3 广义欧拉法 …………………………………………………………………… 179
7.3 龙格 库塔方法……………………………………………………………………… 181
7.3.1 龙格 库塔方法思想…………………………………………………………… 182
7.3.2 龙格 库塔方法的构造………………………………………………………… 183

7.3.3 收敛性和稳定性 ……………………………………………………………… 193
7.4 线性多步法 ………………………………………………………………………… 196
7.4.1 阿当姆斯方法 ………………………………………………………………… 196
7.4.2 线性多步法的一般形式 ……………………………………………………… 197
7.4.3 相容性、稳定性和收敛性……………………………………………………… 197
7.4.4 预估 校正阿当姆斯方法……………………………………………………… 198
7.4.5 米尔尼方法 …………………………………………………………………… 199
7.5 随机微分方程数值解法 …………………………………………………………… 200
7.5.1 布朗运动 ……………………………………………………………………… 200
7.5.2 随机常微分方程 ……………………………………………………………… 202
7.5.3 随机微分方程数值方法 ……………………………………………………… 205
习题………………………………………………………………………………………… 206
上机实验…………………………………………………………………………………… 207
参考文献………………………………………………………………………………………… 208

      王亚红，副教授，硕士研究生，1996年7月至今，在石家庄铁道大学从事教学工作。主讲本科数值分析、矩阵计算、高等数学、线性代数与空间解析几何、概率论与数理统计、计算方法等，2002年至今，主讲硕士研究生的数值分析、矩阵论，博士研究生的高等工程数学等。主要负责完成了河北省研究生《矩阵论》示范课程的建设；参与河北省在线开放课程《概率论与数理统计》，负责课程内容组织设计，混合式教学方法探索；正在负责进行河北省研究生思政示范课程《数值分析》的建设。 

      王秋宝，教授，博士，2009年7月至今，在石家庄铁道大学从事教学工作。主讲本科数值分析、常微分方程、高等数学、线性代数与空间解析几何、概率论与数理统计、计算方法等，2009年至今，主讲硕士研究生的数值分析、常微分方程运动稳定性等。参与河北省在线开放课程《概率论与数理统计》；正在负责河北省教育教学改革项目《常微分方程立德树人之探索》。

       田茹，讲师，博士，美国阿克伦大学访问学者。2021年6月至今，在石家庄铁道大学数学系工作。主讲本科生《计算方法》、研究生《数值分析》、留学生《 Numerical Analysis》、本科生《概率论与数理统计》等。

本书适合作为普通高等院校数学专业“数值分析”课程、理工科院校高年级本科相关选修课程和研究生“数值分析”或“计算方法”课程的教材,也可作为高等院校“数学实验”课程的参考书,对从事科学计算的科技人员也有参考价值。